Escala de imagen y escala de pixel

En un esquema muy simplificado, una fotografía se produce haciendo pasar la luz de un objeto por una lente que la hace converger a una distancia F de la misma como muestra la imagen del encabezado. La relación entre el campo angular abarcado por la fotografía, el tamaño de la imagen y la distancia focal empleada se conoce como fórmula de escala de imagen.

Puedes ir a la segunda sección si te interesa comprender las matemáticas implicadas en esta fórmula . En otro caso puedes seguir directamente para ver las aplicaciones de esta fórmula tan empleada en astrofotografía.

Calcular Campo de Imagen

Campo de Imagen

Una imagen con un campo angular ${\theta}$ se proyecta sobre un sensor fotográfico con un tamaño L que depende de la distancia focal F de la óptica empleada.

Puedes estimar el campo angular ${\theta}$ (medido en segundos de arco) multiplicando 206.26 por L (medido en micras) y dividiendo el resultado por F (medida en milímetros), aunque la fórmula pierde precisión conforme crece el tamaño del campo angular.

[1]

${\theta \:''}$

${L\:\mu m}$

${F \:mm}$

${\theta=206.26 \ \dfrac{L}{F}}$

Aplica la fórmula de escala de imagen en astrofotografía

Puedes emplear esta misma fórmula para calcular diferentes métricas.

Escala de píxel

Para medir el campo angular que abarca un pixel basta sustituir el valor de L por el tamaño de pixel de tu sensor medido en micras. De esta manera obtendrás los segundos de arco de cielo contenidos en cada pixel de tu sensor una vez conocida la longitud focal F. El valor de escala de pixel te resultará muy útil cuando fotografíes objetos en movimiento y quieras asegurar fotografías nítidas. El movimiento del cielo, la rotación de los planetas o el desplazamiento de cometas y asteroides son algunos ejemplos donde puede ser útil conocer la escala de pixel.

Escala de imagen

Para medir el campo fotográfico de tu imagen puedes multiplicar la escala de pixel por el número de pixeles de tu sensor (o bien utilizar la fórmula de arriba sustituyendo la L por el tamaño de tu sensor medido en micras). Esto te puede resultar útil para saber de antemano qué tamaño ocupará un objeto astronómico en tu imagen y así elegir una distancia focal adecuada al mismo. No es lo mismo fotografiar objetos muy extensos como la galaxia de Andrómeda que disparar a un objeto diminuto como el planeta Urano.

Distancia focal

aunque es menos habitual utilizar la fórmula de esta manera, puedes despejar F en la fórmula de arriba y calcular la distancia focal empleada en una fotografía a partir del campo abarcado y del tamaño de tu sensor fotográfico (en micras). El valor del campo abarcado puedes conocerlo fácilmente resolviendo tu fotografía. De esta forma manera obtendrás el valor real de la distancia focal de tu equipo, en lugar de utilizar su valor teórico. Esto puede serte útil si utilizas lentes de barlow, objetivos de focal variable o si acoplas tu cámara con la técnica de proyección de ocular, ya que la distancia focal puede variar de manera difícil de predecir con exactitud en estos casos. De la misma manera puedes comprobar si la distancia focal de tu telescopio es exactamente la que marcan las especificaciones, ya que en la práctica puede variar ligeramente. Una vez conocido el valor real de tu F puedes utilizarlo para medir la escala de pixel y de imagen con mayor exactitud en sesiones posteriores.

Matemáticas de la fórmula de escala de imagen

Para deducir la fórmula empleada puedes seguir estos pasos.

Aplica trigonometría a la representación gráfica de la escala de imagen

Si aplicas trigonometría básica a la imagen del encabezado, puedes obtener fácilmente la fórmula que relaciona los tres elementos ${\theta}$ , L y F, donde ${\theta}$ es un ángulo y L y F se miden en las mismas unidades, ya sean milímetros, metros, o micras.

[2]

${\tan \left( \dfrac{\theta}{2} \right)=\dfrac{\left( \dfrac{L}{2} \right)}{F}}$

Apóyate en la serie de Taylor para estimar la tangente

La tangente de un ángulo medido en radianes puede formularse como la suma de una (complicada) serie de Taylor cuyos coeficientes son números de Bernouilli:

[3]

${\theta \:rad}$

${B_{n}} \:numero\:n\:de\: Bernouilli$

$\tan(\theta)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{2n!}\:\theta^{2n-1 }$

Por suerte basta con quedarse con los primeros términos de esta suma infinita:

[4]

$\tan(\theta)=\theta+\dfrac{1}{3}\theta^{3}+\dfrac{2}{15}\theta^{5}+\dfrac{17}{315}\theta^{7}+\dfrac{62}{2835}\theta^{9}+\cdots$

El exponente de ${\theta}$ crece con cada nuevo término. Y por tanto cuando un ángulo ${\theta}$ es pequeño, como es el caso habitual en astrofotografía, la tangente de ese ángulo tiene un valor muy similar al valor del propio ángulo expresado en radianes.

Simplifica la trigonometría aplicando la aproximación de Taylor

Esto te permite simplificar la fórmula [2] aproximando la tangente ${\tan\frac{\theta}{2}}$ por el valor del propio ángulo ${\frac{\theta}{2}}$ medido en radianes. L y F continúan utilizando las mismas unidades de medida.

[5]

${\theta \:rad}$

${\dfrac{\theta}{2}\approx \tan \left( \dfrac{\theta}{2} \right)=\dfrac{\left( \dfrac{L}{2} \right)}{F}} \; \Rightarrow\; \theta\approx\dfrac{L}{F}$

Utiliza las unidades de medida habituales en astrofotografía

Por conveniencia puedes transformar esta última fórmula para utilizar las unidades habituales en astrofotografía.

Por ejemplo los ángulos en astrofotografía suelen medirse en segundos de arco. Una circunferencia tiene 360 grados, cada uno dividido en 60 minutos de arco que a su vez se dividen en 60 segundos de arco. El radián también es una unidad para medir ángulos y una circunferencia tiene ${2 \cdot \pi}$ radianes. Por tanto un radian equivale aproximadamente a 206.264,80 segundos de arco. Para ser exactos:

[6]

${1 \ radian \ = \dfrac{360 \cdot 60 \cdot 60}{2 \cdot \pi} \ segundos \ de \ arco \ ('') }$

Por otro lado las distancias L sobre el sensor fotográfico se miden habitualmente en micras ${(\mu m)}$ y la distancia focal suele medirse en milímetros ${( mm)}$ , que son 1,000 veces mayores. La utilización de estas unidades nos devuelve la fórmula vista al inicio.

[7]

${\theta \:''}$

${L\:\mu m}$

${F \:mm}$

${\theta\approx206.26 \ \dfrac{L}{F}}$

Puedes aplicar esta formula a prácticamente cualquier fotografía salvo que estés utilizando una lente de gran angular, ya que en este caso la aproximación del ángulo ${\theta}$ utilizando la serie de Taylor pierde precisión, lo que te obligará a utilizar la función arcotangente para obtener mediciones precisas del campo.