Fotografiar estrellas con una cámara fija tiene como consecuencia que estas se desplacen sobre la fotografía debido al movimiento aparente del cielo causado por la rotación de la Tierra.
Un tipo fotografía nocturna consiste precisamente en captar en la imagen, mediante exposiciones prolongadas, los arcos que describen las estrellas en su trayectoria alrededor del polo. En astrofotografía, sin embargo, ese movimiento tienen frecuentemente el efecto indeseado de hacer que las estrellas dejen de ser puntos de luz para convertirse en pequeños segmentos o trazas causados por la deriva estelar. En este caso se requiere limitar el tiempo de exposición para que las estrellas no se deformen.
El interés en ambos tipos de fotografía es conocer la longitud que tendrán las trazas de las estrellas para un tiempo de exposición dado, en el primer caso con el objetivo de extender la exposición hasta lograr trazas de la longitud deseada y en el segundo caso para limitar la exposición y evitar que las estrellas se deformen y se extiendan más allá de un pixel.
Una respuesta habitual para conocer el límite de exposición a partir del cual las estrellas empiezan a derivar es conocido como regla de 500 (o de 600 o 700) que consiste en dividir este valor por la distancia focal para calcular los segundos de exposición. Aunque pueda ser útil a efectos prácticos en determinados formatos, la realidad es que una exposición calculada de esta manera generará trazas en la imagen que resultaran visibles si se amplia suficientemente.
Puedes calcular la longitud (en pixeles) de la trayectoria de una estrella de la siguiente manera:
1) Mutiplica el tiempo de exposición T (en segundos) por la distancia focal F (en milímetros) y por el coseno de la declinación astronómica de la estrella.
2) Multiplica 13.75 por el tamaño de pixel L de tu sensor fotográfico (en micras)
3) Divide el primer valor por el segundo
Y puedes calcular el tiempo de exposición (en segundos) para que una estrella no derive más de un pixel aplicando esta fórmula:
1) Mutiplica 13,75 por el tamaño de pixel L de tu sensor fotográfico (en micras).
2) Multiplica la longitud focal F de tu lente (en milímetros) por el coseno de la declinación astronómica de la estrella. Si prefieres simplificar a costa de la precisión, puedes utilizar sencillamente la longitud focal sin multiplicarla.
3) Divide el primer valor por el segundo.
De las fórmulas se deriva que para realizar una fotografía debes tener en cuenta la región del cielo a fotografiar. No es lo mismo disparar a la estrella polar que disparar al ecuador celeste. Para el cálculo de la exposición límite puedes obviar este paso asumiendo que la declinación es igual a 0 y por tanto el coseno de la declinación vale 1, lo que te dará un tiempo de exposición para el que ninguna estrella se desplazará en tu fotografía.
Las limitaciones que puede tener esta fórmula en la práctica son mínimas y podrían estar causadas por pequeñas variaciones en general indetectables en fotografía amateur, como las aproximaciones aplicadas a la función tangente descritas en el último apartado, las simplificaciones asumidas para el movimiento celeste que recoge el sistema de coordenadas astronómicas, o desviaciones en el comportamiento de la focal respecto a su valor teórico que afecten a la escala de pixel.
Los siguientes apartados están dedicados a explicar las fórmulas.
Rotación terrestre y movimiento aparente del cielo
Por simplificar suele decirse que el sol sale por el Este y se pone por el Oeste, aunque en realidad su trayectoria varía bastante con las estaciones y con el lugar de la Tierra desde el que se observe. El caso es que sabemos que esta trayectoria aparente se debe mayoritariamente a la rotación terrestre: es la Tierra la que se mueve y no el Sol.
Con las estrellas sucede algo similar: debido a la rotación terrestre siguen una trayectoria aparente que rota alrededor de un punto: el polo (Norte o Sur dependiendo de tu ubicación). En el hemisferio Norte la estrella polar está ubicada prácticamente en el polo Norte, por lo que apenas se mueve, y conforme te alejas del polo las estrellas van trazando círculos cada vez mayores a su alrededor, hasta llegar al ecuador celeste donde se produce un círculo máximo. A partir de ahí los círculos se van reduciendo conforme te acercas al polo Sur. Como todas las estrellas completan un ciclo en la duración de un día, las situadas en el ecuador se desplazan mucho más rápido que las situadas cerca del polo. Esto permite tiempos de exposición mayores cerca del polo que lejos de él, un aspecto que no puede capturarse con una fórmula simplificada como la regla de 500.
El cielo se ve afectado además por el movimiento de traslación de la Tierra, que acelera y frena en su recorrido alrededor del sol, y por otra serie de factores que los astrónomos se esfuerzan en medir minuciosamente, aunque a efectos de fotografía puedes obtener una buena aproximación obviando estos movimientos y concentrándote únicamente en la rotación. Por poner un ejemplo, si solo existiera el movimiento de rotación terrestre cada 24 horas, las estrellas aparecerían en la misma línea visual cada noche a la misma hora. Sin embargo, debido a la traslación terrestre, el tiempo entre dos apariciones consecutivas (el llamado día sideral) varía en función de la velocidad de traslación terrestre. Su duración media es de 23 horas, 56 minutos y 4.0916 segundos.
Velocidad del movimiento celeste
En los polos la velocidad aparente es cero y en el ecuador celeste es máxima, ya que una estrella debe recorrer una circunferencia máxima que rodea el cielo al completo. Puedes dividir esa circunferencia del ecuador en 360 grados, cada uno con 60 minutos de arco que a su vez se dividen en 60 segundos de arco. Como el día terrestre se divide en 24 horas, cada una con 60 minutos de 60 segundos, la velocidad de rotación resultante es de 15 segundos de arco de recorrido en el cielo por cada segundo de tiempo. Si te obsesiona la precisión puedes utilizar la duración del día sideral que arroja una velocidad de 15,04 segundos de arco por segundo, aunque para ser absolutamente precisos habría que considerar factores adicionales como los que afectan al sistema de coordenadas astronómicas.
Una estrella situada entre el polo y el ecuador celeste recorre una circunferencia que no es máxima, como ilustra la figura. Si observases una estrella situada cerca del polo la verías trazar un pequeña circunferencia a su alrededor, pero no cruzar el cielo de lado a lado como sucede en el ecuador terrestre. Para medir el tamaño de esa circunferencia puedes apoyarte en un valor que los astrónomos se esfuerzan en medir para los objetos celestes: la declinación astronómica, que en la ilustración viene representada con la letra griega Delta en amarillo.
Si imaginas el cielo como una esfera en rotación, los puntos de esa esfera trazan circunferencias ubicadas en planos paralelos y el plano ecuatorial atraviesa la esfera por su centro. La declinación de un punto de la esfera es sencillamente el ángulo que forma el plano del ecuador con la línea que va de ese punto al centro de la esfera. La declinación de un punto no varía al rotar la esfera, ya que ese ángulo se mantiene constante mientras el punto se traslada alrededor de la misma. De la misma manera, cada estrella tiene una declinación que no se modifica por efecto de la rotación aparente del cielo.
A partir de aquí, con conocimientos básicos de trigonometría es fácil concluir que la proporción entre el radio de la circunferencia que traza una estrella y el radio de la circunferencia ecuatorial es igual al coseno de la declinación. Y la longitud de ambas circunferencia también mantiene la misma proporción. Si la medida de la circunferencia ecuatorial son 360 grados de cielo, la circunferencia que traza una estrella ubicada fuera del ecuador mide ese mismo valor multiplicado por el coseno de la declinación. Por tanto, la velocidad aparente a la que se desplaza un objeto en el cielo, medida en segundos de arco por segundo de tiempo es:
En el ecuador la declinación es cero y por tanto su coseno vale uno, por lo que la velocidad es 15 segundos de arco por cada segundo de tiempo, como vimos al inicio de este apartado. Y el el polo la declinación es de noventa grados y el coseno vale cero, por lo que la velocidad es nula.
Matemáticas de la longitud de trazas estelares y tiempo límite de exposición para evitarlas
En primer lugar puedes calcular la longitud de desplazamiento de una estrella, medida en segundos de arco, multiplicando su velocidad por el tiempo de exposición.
Medir el campo visual que abarca un pixel de tu cámara en segundos de arco es sencillo utilizando la fórmula de escala de pixel.
Y para calcular la longitud de las trazas estelares en pixeles basta dividir la longitud de las traza en segundos de arco (el segundo término de la primera ecuación) por la longitud de un pixel en segundos de arco (el segundo término de la segunda ecuación).
Ahora si quieres evitar que una estrella deje una traza en tu imagen, tendrás que limitar el número de pixeles a 1. Despejando T en la ecuación anterior puedes obtener el tiempo límite para que una estrella no deje trazas.
